フロンティアは、資産価格のパラメトリック モデルが資産リターンの特性に適合するかどうかをすばやく確認するためによく使用されます。

能力。  の平均値とボラティリティは、モデルのさまざまなパラメーター値に基づいて計算できます。

 のボラティリティの境界を満たすことができない、つまり、図 の下のパネルの陰影を超える場合です。

モデルが資産の価格を設定できないことを示します。たとえば、 は米国債と株式の複合指数を使用しています。

 数の戻りデータは、證券開戶  ボラティリティの境界を計算し、セクション  で説明したことを示しています。

電力ユーティリティを使用した単純な消費ベースの資産価格設定モデルは、リスク回避係数が

これらの境界は、非常に高いレベルで満たされています。これにより、株式プレミアムを簡単に理解できます。

の謎。  は、さまざまな満期の米国債に関するデータを使用してこの実験を繰り返し、より高いボラティリティの限界を取得します。

限界。非公式の演習として、これがどのように発生し、どのように発生するかを視覚的に説明します

この結果を説明します。上記のボラティリティの境界は、図  に示されています。これは、条件  によってのみ得られます。

アウト。彼らは自衛隊をポジティブにすることを強制しません。  は、正の  を使用してボラティリティの範囲を狭める方法を示しています

ただし、これにより分析が非常に複雑になり、実際にはほとんど使用されません。経験主義者

SDF のボラティリティ限界は、資産の価格特性を要約するためのデータセットとしてよく使用されます。

より単純なプロセスがより適切です。同じ理由で、この方法の適用は主に

正式な統計検定ではなく、点推定を使用する ここで、厳密に正の自衛隊を考えてみましょう。セクション  から、アービトラージがない場合、これは次のようになることがわかります。

自衛隊は常に存在します。 のエントロピーを説明するには、 段階の離散状態を考えます。

セクション からわかるように、経済的でリスクのない資産を取引できます。

ここで、 は状態  のリスク中立確率です。フェーズ  がわかっているので、

エントロピーの式とは関係がないため、次のようになります。成長に最適なポートフォリオの場合、弱い不等式は等しく、投資家は対数効用を使用します

ポートフォリオを選択します。前述のように、成長最適ポートフォリオの総収益の逆数は、常に次のように使用できます。

自衛隊。

次に、 の条件付きエントロピーを計算し、式  の結果を使用します。

この結果の意味するところは、条件付きログ リスク プレミアムが高いということは、条件付き  が高いことを意味するということです。

エントロピーですが、が非対数正規分布を持っている場合、SDF の対数が高い必要はありません。

条件付き分散。  の条件付きエントロピーの最も厳密な下限は、最適ポートフォリオ超過ログ バックの成長によって与えられます。

報告された条件が与えられることが期待されます。

条件付きエントロピーの境界を無条件エントロピーの境界に変換するために、 と

 は、分散と同様に、無条件のエントロピーが に等しいという事実を使用しています。

部分エントロピーの平均と条件付き平均の平均。つまり、任意の確率変数について の条件付き平均は無リスク資産の価格なので